Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

II Semestre 2000

TAREA 1 - MAT 270 - INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO

Fecha de Entrega: 18 de agosto de 2000 (en clase)

1.
La velocidad hacia arriba de un cohete se puede calcular usando la fórmula siguiente:

\begin{displaymath} v = u \, \ln \left( \frac{m_0}{m_o - qt} \right) - gt \end{displaymath}

donde:
v = velocidad hacia arriba
u = velocidad con la que el combustible sale relativa al cohete.
m0 = masa inicial del cohete en el tiempo t=0
q = razón del consumo de combustible.
g = aceleración hacia abajo relativo a la gravedad

a)
Estudie el buen condicionamiento del problema v = f(t, g, u, q, m0) en un dominio adecuado al problema.
b)
Proponga un algoritmo de cálculo y estudie la estabilidad numérica de éste.

2.
Considere la siguiente integral definida

\begin{displaymath} I_n = \int_0^1 x^n e^{x-1} \, dx = \frac{1}{e} \int_0^1 x^n e^x \, dx \end{displaymath}

a)
Haciendo uso del método de integración por partes pruebe que

\begin{displaymath} I_n = 1 - n I_{n-1}, \quad n = 2, 3, \ldots \end{displaymath}

b)
Pruebe que:
i)
$I_n \geq 0, \quad \forall n \in {\Bbb N}$
ii)
$I_n < I_{n-1} \qquad \forall n \geq 1$

iii)
$\lim\limits_{n\to\infty} I_n = 0$

c)
Haga una tabla de valores In para $n = 1, 2, \ldots, 15$.
d)
¿Qué observa?, ¿cómo puede remediar la situación?

3.
Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no tienen la misma línea vertical sujeto solamente a la carga de su propio peso w [N/m]

\psfig{figure=tar1.ps} \psfig{figure= tar2.ps}  

que actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.

Basado en un balance de fuerza, horizontal y vertical se deduce el siguiente modelo matemático:

\begin{displaymath} \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{w}{T_A} \, \sqrt{1 +\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \end{displaymath}

$y(x_0) = y_0, \quad y'(x_0) = y_0^\prime $ cuya solución es

\begin{displaymath} y = \frac{T_A}{w} \cosh \left( \frac{w}{T_A}x \right) + y_0 - \frac{T_A}{w} \end{displaymath}

TA y TB : fuerzas de tensión en sus extremos.

Pregunta:

Para w = 10, y0 = 5, y = 20, x = 20 una aproximación de TA es $\widetilde{T}_A = 20.27325421$.

Se desea saber de cuántos D.S. es dicha aproximación.

4.
PROPAGACION DE ERRORES de redondeo para un algoritmo dado.

Considere el problema \fbox{$y =\varphi(x)$} en que $x = (x_1, \ldots, x_n)$, $y = (y_1, \ldots, y_m)$ y la descomposición de $\fbox{$\varphi = \varphi^{(r)} \circ \ldots \circ \varphi^{(1)} \circ \varphi^{(0)}$}$ en aplicaciones elementales de clase ${\mathit C}^1$, correspondientes a un algoritmo de r pasos. Sea x(0) un dato exacto y defina $x^{(i+1)}: = \varphi^{(i)} (x^{(i)}$, $i = 0, \ldots, r$. Sea $\widetilde{x}^{(0)}$ un dato aproximado y defina $\widetilde{x}^{(i+1)}:= rd \left(\varphi^{(i)}\left(\widetilde{x}^{(i)}\right)\right)$, $i = 0, \ldots, r\;$. Denote por y:= x(r+1), $\widetilde{y}:= \widetilde{x}^{(r+1)}$. Teóricamente y es el resultado exacto. Se quiere estimar: $\Delta y := \widetilde{y} - y$, esto es, el error absoluto.

Defina la i-ésima ``función restante'':

\begin{displaymath} \psi^{(i)} = \varphi^{(r)} \circ \ldots \circ \varphi^{(i)}, \quad i = 0, \ldots, r \end{displaymath}

Utilice las siguientes notaciones:

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \Delta x^{(i+1)} &:=& \widetilde{x}^{(i+1... ...cl} \mbox{ para }\quad i &=& 0, \ldots, r. \end{array}\right. \end{displaymath}

a)
Del teorema de Taylor, eliminado los términos de orden mayor que 1 en los $\epsilon$, $\vert \epsilon \vert \leq EPS$, establezca que:

\begin{displaymath} \varphi^{(i)} \left( \widetilde{x}^{(i)}\right) \dot{=} \var... ...ft(x^{(i)} \right) \cdot \Delta x^{(i)}, \quad i = 0, \ldots r \end{displaymath}

b)
De a) establezca la fórmula recursiva:

\begin{displaymath} \Delta x^{(i+1)} \dot{=} \, J_{\varphi^{(i)}} \left( x^{(i)}... ...t) \cdot \Delta x^{(i)} + \alpha_{i+1}, \quad i = 0, \ldots, r \end{displaymath}

c)
De b) establezca que:

\fbox{$\Delta y \dot{=} \ J_\varphi \left( x^{(0)} \right) \cdot \Delta x^{(0)} ... ...=1}^r \, J_{\psi^{(i)}} \left( x^{(i)} \right) \cdot \alpha_i + \alpha_{r+1} $}

Indicación: $\Delta y \equiv \Delta x^{(r+1)}$

NOTA: Como bibliografía sobre el tema 4 se sugiere el texto:

Stoer, J. & Bulirsch, R. ``Introduction to Numerical Analysis'', Springer-Verlag, 1978.

Los datos de los problemas 1 y 3 son del texto de Chapra, S. & Canale, R.,
``Métodos Numéricos para Ingenieros''.

RAF.JFN/aba
2 de agosto 2000